Etude de l’orthogonalité de l’image au noyau d’une dérivation généralisée

Abstract

Soit H un espace de Hilbert complexe de dimension infinie séparable et L (H) l’algèbre des operateurs linéaires bornés définis et à valeurs dans H. Pour un opérateur A 2 L(H), la dérivation intérieure induite par A noté A est définie : A : L(H) ! L(H) X 7! AX XA; A 2 L(H): La dérivation généralisée induite par les opérateurs A; B noté A;B est définie : A;B : L(H) ! L(H) X 7! AX XB; A; B 2 L(H): nous étudions la classe des opérateurs finis, pour lesquels la distance entre l’opérateur identité et l’image de L(H) par l’opérateur de dérivation d’un opérateur A vaut l’unité, nous donnons quelques propriétés de cette classe et nous en étudions quelques uns. L’objectif principal de ce travail est de donner les opérateurs vérifiant R ( A) \ fAg 0 = f0g ; où R ( A) est la fermeture de l’image de la dérivation A ,fAg 0 est l’ensemble des commutants de A . Et pour quels opèrateurs A; B on a R ( A;B) \ Ker ( A;B) = f0g ; R ( A;B) \ Ker ( A;B ) = f0g