Décroissances et explosion des solutions de certains systèmes d’évolution non linéaire

Abstract

L’objet de nos travaux porte essentiellement sur la détermination des conditions suffisantes pouvant mener la solution à tendre vers zéro lorsque t tend vers l’infini ou à exploser en temps fini pour certains problèmes d’évolutions en présence d’un terme source de type polynomiale et logarithmique. Il s’est avéré que cette source empêche l’existence globale (en temps) de la solution du problème; c’est-à-dire que la solution (ou plus précisément l’énergie du problème) tend vers l’infini pour la norme de l’espace considéré quand t s’approche d’une valeur finie T appelée temps d’explosion. Pour cette raison on appelle le terme source terme d’explosion. Les termes de dissipations sont par contre des termes qui ont tendance à stabiliser la solution du problème. Il est facile de voir qu’en absence de termes sources, si la solution existe localement alors on peut toujours la prolonger en une solution globale. Cette interaction entre terme source et terme dissipatif a été une question centrale dans de nombreux travaux et elle l’est toujours. Il est important de savoir quel terme l’emporte sur l’autre. L’outil principal utilisé repose sur la méthode de Georgiev et Todorova.