Existence et multiplicité des solutions d’un problème elliptique

Abstract

Résumé :Cette memoire comporte des résultats d.existence et multiplicité des solutions non triviales d.une équations elliptique non-locale avec condition sur la frontière de Steklov Neumann de la forme suivante {■((-∆)_p(x) u+a(x) |u|^(p(x)-2) u=f(x,u) dans Ω,@|∇u|^(p(x)-2) ∂u/∂v+b(x) |u|^(q(x)-2) u=g(x,u) sur ∂Ω,)┤ où Ω⊂R^N (N≥2), est un domaine borné avec une frontière lipschitzienne ∂Ω∂/∂vest la dérivée suivant la normale, p(x)∈∁(Ω ̅ ),q(x)∈∁(∂Ω),p(x),q(x)>1,p(x)≠q(y),pour toutes x∈ Ω ̅, y∈ ∂Ω, f:Ω×R⟶R,g:∂Ω×R⟶Rsont des fonctions carathéodory satisfaisant certaines hypothèses appropriées. Les fonctions aet bsont continues telles quea_1≤a(x)≤a_2 et b_1≤b(x)≤b_2, pour certaines constantes positives a_1, a_2, b_1,b_2. Abstract : This memory includes results of existence and multiplicity of non-trivial solutions of a non-local elliptic equations with condition on the Steklov Neumann frontier of the following form {■((-∆)_p(x) u+a(x) |u|^(p(x)-2) u=f(x,u) dans Ω,@|∇u|^(p(x)-2) ∂u/∂v+b(x) |u|^(q(x)-2) u=g(x,u) sur ∂Ω,)┤ where Ω⊂R^N (N≥2),is a bounded domain with a Lipschitzian boundray ∂Ω∂/∂v is the derivative according to the normal, (x)∈∁(Ω ̅ ),q(x)∈∁(∂Ω),p(x),q(x)>1,p(x)≠q(y),for all x∈ Ω ̅, y∈ ∂Ω, f:Ω×R⟶R,g:∂Ω×R⟶R are carathéodory functions satisfying certain appropriate hypotheses. The functions aand bare continuous such that a_1≤a(x)≤a_2 et b_1≤b(x)≤b_2, for some positive constants a_1, a_2, b_1,b_2. الملخص: تتضمن هذه الأطروحة نتائج وجود وتعدد الحلول غير التافهة للمعادلات الإهليليجية غير المحلية بشرط ستيكلوف نيومان على الحافة والمعطاة بالشكل التالي {■((-∆)_p(x) u+a(x) |u|^(p(x)-2) u=f(x,u) في Ω,@|∇u|^(p(x)-2) ∂u/∂v+b(x) |u|^(q(x)-2) u=g(x,u) على ∂Ω,)┤ حيث Ω⊂R^N (N≥2) مجموعة محدودة ليبشيتزية على الحافة ∂Ω ، ∂/∂v المشتقة بالنسبة للشعاع الناظمي p(x)∈∁(Ω ̅ ),q(x)∈∁(∂Ω),p(x),q(x)>1,p(x)≠q(y) مهما يكن x∈ Ω ̅, y∈ ∂Ω. f:Ω×R⟶R,g:∂Ω×R⟶R دوال كاراتيدورية، تحقق بعض الفرضيات المناسبة. الدالتان a و b مستمرتان حيث: a_1≤a(x)≤a_2 et b_1≤b(x)≤b_2, من أجل بعض الثوابت الموجبة a_1, a_2, b_1,b_2.